На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 91924


Наименование:


Курсовик Алгебраїчн лнї вищих порядкв та їх застосування

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 01.11.2015. Сдан: 2012. Страниц: 50. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Зміст
Вступ
1. Алгебраїчні лінії вищих порядків в математиці
1.1. Конхоїда
1.2. Цисоїда
1.3. Декартів лист
1.4. Равлик Паскаля
1.5. Спіраль Архімеда
1.6. Лемніската Бернуллі
1.7. Кардіоїда
1.8. Астроїда
2. Задачі, які розв’язуються з використанням кривих вищих порядків
Висновки
Література

Вступ
Під час вивчення курсу геометрії, а також при розв’язуванні прикладних задач економіки, техніки, астрономії, біології тощо, часто виникають задачі, при розв’язуванні яких застосовуються рівняння алгебраїчних ліній вищих порядків( третього, четвертого і більше). До таких ліній, зокрема, належать: конхоїда Нікомеда, цисоїда, лист Декарта, равлик Паскаля, спіраль Архімеда, лемніската Бернуллі та ін. У даній роботі планується провести систематизацію даних кривих та розглянути деякі прикладі задачі, які розв’язуються за допомогою цих кривих, опрацювавши відповідну літературу.

РОЗДІЛ 1
1.1Конхоїда.

Конхоїда кривої (від грец. ????? - черепашка та ????? - вигляд) - плоска крива, що виходить при збільшенні або зменшенні радіус-вектора кожної точки даної плоскої кривої на постійну величину.
Інакше, конхоїда плоскої кривої L відносно точки О - плоска крива, що описується кінцями відрізка, середина якого рухається по кривій L, а продовження відрізка проходить через фіксовану точку площини О.
Для креслення конхоїди служить прилад конхоїдограф.
Розглянемо приклади конхоїди. Для випадку, коли L ? пряма, її конхоїдою є конхоїда Нікомеда:

Три конхоїди прямої зі спільним центром:
1. Червона:
2. Зелена:
3. Синя:
Конхоїда Нікомеда ? це конхоїда прямої, тобто крива, яка отримується збільшенням радіус-вектора точок прямої на деяку сталу величину ; плоска алгебраїчна лінія четвертого порядку. Конхоїда має дві вітки, сама пряма конхоїди є асимптотою обох віток.
Рівняння: Якщо центр конхоїди розташований в початку координат, а пряма задана рівнянням в декартових прямокутних координатах, то рівняння конхоїди має вигляд:

Початок координат є особливою точкою, характер якої залежить від параметрів :
· При ? ізольована точка;
· При ? вузлова точка;
· При ? точка звороту;
Полярні координати:
В полярних координатах, якщо початок знаходиться на відстані а від прямої, яка зміщується вздовж радіус-вектора на відстань , рівняння конхоїди має вигляд: . Ця крива використовувалась при розв’язуванні задачі про трисекцію кута Нікомедом у II ст до н.е.
Конхоїда кола з центром на колі - равлик Паскаля.


1.2. Цисоїда.
1. Особливості форми. Серед багатьох методів побудови цисоїди ? кривої, відкритої древніми в пошуках розв’язку знаменитої задачі про подвоєння куба, ми зупинимося на найпростішому. Візьмемо коло(яке назвемо початковим) з діаметром ОА=2а і дотичну АВ до неї. Через точку О проведемо промінь ОВ і на ньому відкладемо відрізок ОМ=ВС. Побудована таким чином точка М належить цисоїді. Повернувши промінь 0В на деякий кут і виконавши вказану побудову, ми знайдемо другу точку цисоїди, і т. д. (Рис. 3).
Якщо точку О прийняти за полюс, то але звідки отримуємо полярне рівняння цисоїди:
(1)
Користуючись формулами переходу від полярних координат до декартових, знайдемо рівняння цисоїди в прямокутній системі:
(2)
Параметричне рівняння цисоїди можна отримати, поклавши x=ty, тоді, на основі рівняння (2), прийдемо до системи:

Рис. 3.
Рівняння (2) показує, що цисоїда є алгебраїчною кривою 3-го порядку, а з рівнянь (3) випливає, що вона є раціональною кривою.
Цисоїда симетрична відносно осі абсцис, має нескінченні вітки; дотична до початкового кола, тобто пряма х = 2а, є для неї асимптотою; початок координат є точкою звороту 1-го роду.
2. Властивості. Кінематично цисоїда може бути отримана як траєкторія середини М катета ВС трикутника АВС, який рухається в площині креслення так, що його вершина В рухається по осі ординат, а інший катет АС завжди проходить через нерухому точку Е на осі абсцис. (Рис. 4)
Дійсно, позначивши середину відрізка ОЕ через D, помічаємо, що оскільки ВС=ЕО, ? ВСЕ=? ВЕО, звідки /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, відповідно, ? NBE- рівнобедрений, а так як ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то відрізок DM паралельний відрізку BE. Нехай, далі, точка К є точка перетину з продовженням відрізка DM прямої, що проходить через точку В паралельно осі абсцис. Опишемо коло з центром в початку координат і радіусом, рівним OD, і проведемо до неї дотичну до другої точки перетину з прямою ЕО. Вона пройде, очевидно, через точку К. Позначивши точку перетину прямої DMK з колом через F, помітимо, що трикутники DOF і МВК рівні між собою. З їх рівності випливає, що DF=MK, а значить, и DM=FK. Остання рівність і показує, що геометричне місце точок М буде цисоїдою.
Інші способи побудови цисоїди засновані на її співвідношеннях з параболою. Покажемо в першу чергу, що цисоїда є підерою параболи відносно її вершини.
Нехай - рівняння даної параболи. Рівняння дотичної в довільній точці М (x, h) цієї параболи можна записати у вигляді можна записати у вигляді рівняння перпендикуляра, опущеного з
Рис. 4.
початку координат на цю дотичну, буде координати точки N перетину його з дотичною визначається за формулами

Виключаючи з цієї системи параметр h, ми отримаємо рівняння яке виражає цисоїду.
Помітимо далі, що координати точки, симетричної початку координат відносно дотичної до параболи у2 = 2рх, отримується, якщо праві частини формул (4) подвоїти, і, відповідно, визначається формулами

Виключаючи з цих рівностей параметр h, ми знову отримаємо цисоїду з рівнянням . Звідси випливає, що цисоїда є геометричним місцем точок, симетричних вершині параболи відносно її дотичних.
Варто помітити, що геометричне місце точок, симетричних відносно дотичної до параболи, можна розглядати як траєкторію вершини іншої параболи, рівної даній, яка котиться по даній параболі. Таким чином, виникає новий спосіб кінематичної побудови цисоїди як траєкторії вершини параболи, яка без ковзання котиться по іншій, такій самій параболі.
Зупинимося на метричних властивостях цисоїди; при цьому нам буде зручно користуватись параметричними рівняннями цисоїди у вигляді:

Площа, обмежена цисоїдою і її асимптотою рівна потрійній площі круга:

Це співвідношення було отримано Гюйгенсом та Ферма. Рис. 5.
Визначаючи площу криволінійного трикутника ОАМС (рис.5), знайдемо, інтегруючи в межах , що вона рівна . Якщо тепер провести дотичні в точках А і С до початкового круга, то площа криволінійного трикутника CMANC буде рівна . Вираз, який знаходиться в правій частині рівності визначає потроєну площу криволінійного трикутника CLANC. Отже, пл. CMANC =3 пл. CLANC. Це співвідношення було також відкрито Гюйгенсом.
Об’єм тіла, яке утвориться внаслідок обертання частини площини, обмеженої цисоїдою та її асимптотою, навколо осі ординат визначається за формулою:

Якщо врахувати, що об’єм тора, отриманого від обертання початкового круга навколо осі ординат, рівний , то із отриманого результату випливає, що об’єм тіла, отриманого обертанням частини площини, обмеженої цисоїдою та її асимптотою, навколо осі ординат, в п’ять раз більший об’єму тора, отриманого при обертанні початкового круга навколо тієї ж осі. Це співвідношення також було отримано Гюйгенсом.
Нехай тепер хс - абсциса центра тяжіння части площини, обмеженої цисоїдою та її асимптотою; тоді за теоремою Гюльдена матимемо , де V і U - відповідно об’єм і площа, які були визначені вище. Підставляючи їх значення в співвідношення Гюльдена отримаємо: .
Таким чином, центр тяжіння частини площини, обмеженої цисоїдою та її асимптотою, ділить відрізок між вершиною і асимптотою на дві частини, відношення яких рівне 5.
Це співвідношення дозволяє в свою чергу визначити об’єм тіла, отриманого обертанням цисоїди навколо її асимптоти. За теоремою Гюльдена маємо:
Цей результат можна інтерпретувати також як об’єм тору, отриманого від обертання початкового круга навколо асимптоти. Таким чином, об’єм тіла, отриманого обертанням цисоїди навколо її асимптоти, рівний об’єму тора, отриманого від обертання початкового круга. Це співвідношення вперше встановлено Слюзом.
Довжина дуги цисоїди від її вершини до точки з абсцисою х визначається за формулою:


1.3. Декартів лист.
Особливості форми. Декартовим листом називається крива 3-го порядку, рівняння якої в прямокутній системі координат має вигляд:

Іноді зручно користуватися параметричним рівнянням декартового листа, яке можна отримати поклавши y=tx, використовуючи рівність (1) і розв’язуючи отриману систему відносно x та y, в результаті матимемо:

звідки випливає, що декартів лист є раціональною кривою.
Помітимо, що полярне рівняння декартового листа має вигляд:

Координати х и у входять. в рівняння декартового листа симетрично, звідки випливає, що крива симетрична відносно бісект........


Список використаної літератури
1. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. Ч1. -- М.: Просвещение, 1973. - 256 с.
2. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В..П. и др. Сборник задач по геометри: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980. - 240 с.
3. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри. - М.: Наука, 1980. - 240с.
4. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1954. - 356с.
5. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях.Ч.1. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1986. -- 336 с.


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.