На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 92634


Наименование:


Реферат Отношение порядка в системе рациональных чисел (определение, леммы и теорема о существовании порядка)

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Информатика. Добавлен: 27.11.2015. Сдан: 2015. Страниц: 4. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный гуманитарный университет»

ФАКУЛЬТЕТ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ


Реферат

по теме
Отношение порядка в системе рациональных чисел (определение, леммы и теорема о существовании порядка)


Выполнила: студентка 4 курса
ОЗО Информатика

Хабаровск 2015
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

При построении системы рациональных чисел, возникает необходимость использовать понятие поля, поэтому в рассматриваемой теме напомним это понятие. Раскроем построение аксиоматической системы рациональных чисел. Рассмотрим основные свойства поля рациональных чисел, отношение порядка в поле рациональных чисел. Решим вопрос о плотности поля рациональных чисел. Для проверки непротиворечивости системы рациональных чисел и ее категоричности построим модель теории рациональных чисел.

Аксиоматическая теория рациональных чисел

Определение 1. Системой рациональных чисел (СQЧ) называется минимальное расширение кольца целых чисел в классе всех полей.
Замечание. Поле системы рациональных чисел называется полем рациональных чисел и обозначается Q, элементы его называются рациональными числами.
Формулировка СQЧ :
Sо: 1) первичные термины кольца и поля;
2)первичные термины кольца целых чисел;
То: А: список аксиом кольца целых чисел;
Б: список аксиом поля Q = ;
В: аксиома расширения: Z Q, а, в Z: а + в, ав, - а Z;
С: аксиома минимальности: (К, Z К Q) ^ (а, в К) а + в, ав, - а К ^ ( (а, в К) в 0, а К)=>К = Q.


Основные свойства системы рациональных чисел

Теорема 1. Всякое рациональное число есть отношение двух целых чисел (строение системы рациональных чисел).
*Покажем, что если поле Q содержит кольцо Z (аксиоматическое расширение), то оно содержит и множество отношений целых чисел а/в = а , в 0. То есть покажем, что все отношения целых чисел образуют поле и оно совпадает с Q.
Рассмотрим множество К = {а/в = а | в 0, а, в Z} и проверим, что К – поле, Z К.
1) Зададим операции:
«+»: а + с = (аd + вс)(вd) , так как в 0, d 0, в, d Z=>(вd) 0, вd Z
(в Z нет делителей нуля)
«х»: а х с = (ас) (вd) , так как а, в Z, в 0, d 0=>вd 0. Таким образом, К замкнуто относительно введенных операций. Легко проверяются и другие аксиомы поля, причем 0 = 0/в = 0 , в 0; 1 = 1/1 = 1 х 1 , 1 0, то есть можно сделать вывод, что К – поле.
2)Любое целое число «а» можно рассматривать как рациональное число
а/1 = а х 1 , поэтому Z К.
3)Проверим аксиому минимальности:
(К, Z, Z К Q) ^ ( (а, в, К) а + в, ав, - а К) ^ ( (а, в К) ^ ( в 0) а К) =>К = Q, то есть имеет место: Z К Q, ( (а/в = а , с/d = сd , а +с , а х с , - ав К, в 0, d 0) ^ ( (а/в = а , с/d = сd , с 0) а / с = (ав) (сd ) К) => К = Q. Таким образом, любое рациональное число имеет вид а/в = ав , где а, в Z, в 0.


Отношение порядка в поле рациональных чисел

Определение 2 (определение бинарного отношения порядка на поле рациональных чисел).
( а, в Z) ^ (в 0) а > 0<=>ав N\{0}.
df
Определение 3. (р, g Q) р > g <=>р – g >0.
df
Лемма 1. Если р = а 0, g =сd 0, то (а = с ) тогда и только тогда,
когда (ав >0 и сd >0) или ( (- ав >0) и (- сd )>0).
*Пусть р = а 0, g = сd 0 и пусть а = с . Умножим обе части равенства на , получим ав = сd . Так как а, в, с, d Z, а , > 0, то либо
ав > 0 и сd > 0, либо (– ав) > 0 и (– сd) > 0, что и доказывает истинность леммы. С другой стороны, если а > 0 и с > 0=>а 0 и с 0=>р 0, g 0 . Аналогично доказывается и для - а > 0 и - с > 0.*

Лемма 2. Если р, g Q, то р = g v р >g v р < g.
*Пусть р = а =>(ав Z)=>(ав = 0) v (ав N\{0}) v (- (ав) N\{0}) =>
(р = 0) v р > 0 v 0 > р, то есть получаем, что: 1) р = 0<=>а = 0, в 0;
2) р > 0<=> ав N\{0}; 3) 0 > р <=> - (ав) N\{0}.
Пусть р, g Q. Рассмотрим р – g = в - с = (аd – вс) (вd) , в 0, d 0;
(аd - вс)(вd) = 0 v (аd - вс)(вd) N\{0} v (вс - аd)(вd) N/{0}=>
(р – g = 0) v (р – g > 0) v (g - р > 0)=> (р = g) v (р > g) v (g > р), что и требовалось доказать. Если предположить, что р > р, то р – р > 0, то это неверно, так как р = а , а а - а = (а - а) = 0 = 0. *

Лемма 3. Если р, g Q, р > 0, g > 0, то р + g > 0, рg > 0.
*Пусть р = ав > 0, g = сd > 0, а, в, с, d Z=> ав > 0, сd > 0.
р + g = ав + сd = (аd + вс) (вd) ; (аd + вс)(вd) = ав + сd .
Так как ав > 0, сd > 0, > 0, > 0, то (аd + вс)(вd)> 0=>р > 0. Поэтому (р + g) = (аd + вс)( вd) > 0=>р + g > 0.
р g = ав сd = ас (вd) . Так как ав > 0, сd > 0 => ас .вd >0, поэтому р g > 0, что и требовалось доказать.*

Теорема 2. В поле рациональных чисел существует единственный строгий линейный порядок, превращающий поле рациональных чисел в линейно упорядоченное, его ограничение на Z совпадает с ранее введенным.
*По определению 1: р >g<=>р – g >0. Это означает, что на Q задано отношение «>». Лемма 7 свидетельствует, что это отношение антирефлексивное, антисимметричное и обладает свойством связности. Покажем, что оно обладает свойством транзитивности. Пусть р > g, g > r =>р – g > 0, g – r > 0 =>
(р – g) + (g – r) > 0 (по лемме 8) => р – r > 0=>р > r. Это позволяет утверждать, что «>» на Q является строгим линейным порядком. Покажем, что отношение «>» согласуется с операциями.
Пусть р > g=>р – g > 0=>(р + c) – (g + с) > 0=>р + с > g + с=> УП+,
р > g, с > 0=>р – g > 0, с > 0=>(р – g) с > 0 (по лемме 8)=>рс - gс > 0=>
рg >gс => УПх.
Покажем, что ограничение «>» на Z совпадает с ранее введенным отношением на Z.
Пусть (а, в Z) а > в=>а - в N\{0}=>а – в > 0=>а > в, а/1, в/1 Q.
Пусть р, g Q, где р = а/1, g = в/1, то есть р, g Z. р > g=>р – g > 0=>
а/1 - в/1 >0 =>а – в > 0=>а - в N\{0}=>если а > в, а, в Z, то р > g, р, g Z.
Заметим, что любой строгий линейный порядок на Q определяет строгий линейный порядок на Z. При этом, согласуясь с операциями поля, он остается в силе и на Z. Но на Z строгий линейный порядок можно задать единственный, поэтому рассматриваемое отношение совпадает с ранее введенным.
Покажем, что «>» - единственный строгий линейный порядок на Q.
ав = (ав) (в ) , но (х) > 0 при х 0 в любом линейно упорядоченном кольце. Значит, ав > 0<=>ав > 0, то есть любой строгий линейный порядок, определенный на Q, совпадает с порядком, определенным вначале доказательства.



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.