На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 98011


Наименование:


Диплом Метрические соотношения для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 16.06.2016. Сдан: 2016. Страниц: 53 нет с-ка лит-ры. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ, ФИЗИКИ, ХИМИИ, ИНФОРМАТИКИ
Кафедра математики и методики преподавания математических дисциплин
Профили Математика, Информатика

«Допущена к защите»
Декан ФМФХИ доц. С.В.
___________________________________
« ____ » ___________________ 2016 г.
Зав. кафедрой доц. Е.С.
___________________________________
« ____ » ___________________ 2016 г.

Метрические соотношения для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(бакалаврская работа)

Выполнил:


Коломна – 2016 г.

Содержание

Введение
Глава 1. Треугольники
§ 1. Основные метрические соотношения в треугольнике
§ 2. Вписанные и описанные треугольники
§ 3. Вневписанные окружности треугольника
Глава 2. Четырехугольники
§ 1. Вписанные и описанные четырехугольники
§ 2. Дополнение к основным критериям вписанного четырехугольника
Глава 3. Многоугольники
§ 1. Вписанные и описанные многоугольники.
Глава 4. Практическая часть
§ 1. Элективный курс по теме «Техника решения задач по планиметрии»
Заключение
Список литературы.




Введение

На протяжении веков геометрия служила источником развития не только математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения немыслимы без геометрии и ее новейших разделов: топологии, дифференциальной геометрии, теории графов, компьютерной геометрии и др. Огромна роль геометрии в математическом образовании учащихся. Известен вклад, который она вносит в развитие логического мышления и пространственного воображения учеников. Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом, поскольку именно геометрия дает представление о строго установленной истине, воспитывает потребность доказывать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом, геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.
Научиться решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Это связано с обилием различных типов геометрических задач и с многообразием приемов и методов их решения.
Основная трудность при решении этих задач обычно возникает по следующим причинам:
– планиметрический материал либо был плохо усвоен в основной школе, либо плохо сохранился в памяти;
– для решения задачи нужно знать некоторые методы и приемы решения, которые либо не рассматриваются на уроках планиметрии, либо не уделяется достаточного внимания;
– в «нетипичных» задачах, в которых представлены не самые знакомые конфигурации, надо уметь применять известные факты и решать базисные задачи, которые входят как составной элемент во многие задачи.
Эти причины обусловили тему выпускной квалификационной работы: «Метрические соотношения для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность».
По данным статистической обработки результатов ЕГЭ [23], а также вступительных экзаменов в различные вузы планиметрические задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Как правило, это задачи, при решении которых нужно применить некоторое число геометрических фактов из школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок. Решая такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те свойства, которые необходимы при решении.
Отметим одну особенность школьного курса, в известной степени затрудняющую процесс обучения: учащиеся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы по решать задачи по всему курсу геометрии в целом, практически не остается.
Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение в рамках соответствующего элективного курса некоторых вопросов, которые достаточно часто встречаются в заданиях на экзаменах и которые вызывают затруднения. Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы.
Цель дипломной работы является:
- Изучение основных метрических соотношений для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность;
- Разработка элективного курса по теме: «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника».
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
- Систематизировать материал по теме «Метрические соотношения для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность»;
- Представить теоретическую модель проектирования ЭК по геометрии и выявить условия ее успешной реализации на практике;
- Разработать средство обучения по теме «Окружность, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника» для элективных курсов в профильном обучении общеобразовательной школы.
Структура исследования: работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.


Глава 1. Треугольники
§1. Основные метрические соотношения в треугольнике

1.1. Теорема синусов традиционно выводится из равенства трех выражений площади треугольника. Однако ее можно получить совсем просто и в ее полном содержании без использования формулы площади.
Проведем радиус OD окружности, описанной около данного треугольника ABC, перпендикулярный к стороне BC (рис.21). Тогда углы BAC и BOD равны, так как оба измеряются половиной дуги BC. Точка E пересечения BC и OD —середина BC.

Поэтому из прямоугольного треугольника BOE имеем: или a = , где R —радиус описанной окружности. Аналогично и . Отсюда (3.1)
Нетрудно проверить, что в случае, когда угол A тупой или прямой, результат будет тот же.
Для практического применения теорему синусов полезно знать и в такой формулировке: каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне.
В доказательствах некоторых соотношений при выполнении тождественных преобразований теорему синусов можно использовать в виде:
a sinB = b sin A, b sinC = c sinB, c sinA = a sinC. (3.2)
Задача. Доказать, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к двум сторонам треугольника из основания высоты, опущенной на третью сторону, не зависит от выбора высоты.
Решение. Пусть CD —высота треугольника ABC, DP и DQ перпендикуляры к AC и BC (рис. 22).


Из точек P и Q отрезок CD виден под прямыми углами. Поэтому эти точки принадлежат окружности с диаметром CD. По теореме синусов
PQ = . Но поскольку , где
S —площадь треугольника ABC, то ,
где R —радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Полученное выражение длины PQ действительно не зависит от высоты.
1.2. Формулы проекций и их следствия. Пусть D —ортогональная проекция вершины A треугольника ABC на прямую BC. Для определенности будем считать угол B острым, а для угла C рассмотрим три случая: 1) угол C острый, 2) угол C тупой, 3) угол C прямой (рис. 23). Тогда соответственно
1) a = BD + DC, 2) a = BD ? DC,3) a = BD. Во всех трех случаях BD = c cosB, но в случае 1)DC = b cosC, в случае 2) DC = ?b cosC, в случае 3) DC = 0 = bcosC. Поэтому для всех трех случаев формула едина:
a = b cosC + c cosB. (3.3)
Аналогично b = c cosA + a cosC, c = a cosB + b cosA
рис. 23

Эти соотношения носят название формул проекций для треугольника. Их векторный вывод не требует отдельного рассмотрения указанных трех случаев. Возьмем векторное равенство и умножим его скалярно на вектор А это эквивалентно равенству , или
Из формул (3.3) вытекают важные следствия. Поскольку косинус не больше единицы, то при отбрасывании косинусов в формулах (3.3) получаем неравенства:
a < b + c, b < c + a, c < a + b, (3.4)
называемые неравенствами треугольника.
Далее, умножив соотношения (3.3) соответственно на a, b, c и сложив, находим: или
(3.5)
т. е. получили теорему косинусов для треугольника.
Поскольку , то теорема косинусов может быть
представлена в векторном виде так: (3.6)
Из формул проекций выводится также зависимость между косинусами углов треугольника. Равенства (3.3) будем рассматривать как линейную однородную систему уравнений относительно a, b, c:

Эта система заведомо имеет ненулевое решение (a, b, c), что возможно
тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:
(3.7)
Это и есть искомая зависимость. Раскрывая определитель, получим
(3.8)
Приведем другой вывод тождества (3.8) путем прямого исключения длин a, b, c сторон треугольника из системы (3.3). Подставим в первую и вторую формулы (3.3) выражение c = a cosB + b cosA и полученные два равенства запишем так:

Почленным умножением получаем:

что эквивалентно (3.8).
1.3. Некоторые формулы площади треугольника. В школьных учебных пособиях доказываются следующие формулы площади треугольника:

где r и R —радиусы соответственно его вписанной и описанной окружностей, а —полупериметр треугольника.
Для успешного решения задач полезно знать и другие формулы площади треугольника. Докажем еще пять формул.
1) Исходя из формулы , выразим площадь треугольника через длины его сторон. По теореме косинусов Находим откуда
Поскольку, например, a + b ? c = a + b + c ? 2c = 2(p ? c), то
S^2 = p(p ? a)(p ? b)(p ? c). (3.9)
Эту формулу называют формулой Герона, хотя она была получена гораздо раньше Архимедом.
2) Соединим центр O описанной около треугольника ABC окружности с его вершинами. Если треугольник ABC остроугольный, то точка O лежит внутри него. Очевидно, углы BOC, COA, AOB равны соответственно удвоенным углам треугольника ABC. Тогда

Итак, . (3.10)
Если же, скажем, угол A треугольника тупой, то площадь треугольника BOC следует вычесть, что и выполняет формула (3.10), так как тогда sin 2A < 0.
3) При том же построении высота треугольника BOC, опущенная на сторону BC, равна RcosA (рис. 21). Значит, и поэтому
. (3.11)
Эта формула имеет место для треугольника любого типа.
4) Обозначим длины отрезков сторон треугольника от вершин A, B и C до точек касания с вписанной в треугольник окружностью через x, y и z соответственно.
Рис. 24

Тогда a = y + z, b = x + z, c = x + y (рис. 24) и 2p=a+b+c=2(x+y +z). Отсюда имеем: x = p ? a, y = p ? b, z = p ? c. (3.12)
Соединим центр I вписанной окружности с вершинами треугольника и с точками касания ее со сторонами. Из прямоугольного треугольника получаем:
Тогда формула S = pr принимает вид: (3.13)
5) Далее, замечая, что , на основании формулы (3.9) имеем: . Поскольку pr=S, то при сокращении этого равенства на S получаем:
(3.14)
1.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиуса-
ми его вписанной и описанной окружностей. Используя формулы (3.3)
проекций, находим:
2p = a + b + c = (b + c) cosA + (c + a) cosB + (a + b) cosC =
= 2p(cosA + cosB + cosC) ? (a cosA + b cosB + c cosC).
Согласно (3.11),
Таким образом, , откуда
(3.15)
Следствие. Сумма ориентированных расстояний от центра описанной около треугольника окружности до его сторон равна сумме R + r радиусов его описанной и вписанной окружностей (теорема Карно).
В самом деле, соотношение (3.15) можно написать так:

Поскольку , то

Примечание. Если дан треугольник ABC и точка M, не принадлежащая прямой AB, то ориентированное расстояние от точки M до прямой AB считается положительным, если точки M и C лежат по одну сторону от прямой AB, и отрицательным, если эти точки находятся по разные стороны от прямой AB.

§2. Вписанные и описанные треугольники.

2.1. Центр вписанной в треугольник окружности. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке I, которая равноудалена от трех сторон треугольника и потому является центром вписанной в треугольник окружности.
В каких отношениях делятся биссектрисы треугольника точкой I их пересечения? Решим эту задачу.
Пусть биссектрисы треугольника ABC пересекают его стороны AB, BC и CA соответственно в точках C1, A1 и B1. Тогда BA1 : A1C = c/b
(п. 2.4) и BA1 +A1C =a, откуда . Так как
CI — биссектриса треугольника AA1C, то
Итак, (4.3)
Далее, фиксируем некоторую точку O в качестве начала векторов (рис. 29) и выразим вектор центра вписанной окружности через векторы вершин треугольника и длины его сторон:

Итак, (4.4)
Следствие. Точка I является точкой пересечения биссектрис тогда
и только тогда, когда (4.5)
2.2. Ортоцентр треугольника. Существование этой замечательной точки утверждается теоремой о пересечении высот треугольника.
Теорема. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (она называется ортоцентром треугольника).
Рассмотрим три доказательства этой теоремы.
Доказательство 1. Через вершины треугольника ABC проведем прямые, параллельные его противоположным сторонам. Тогда точки A, B и C будут серединами сторон полученного треугольника A2B2C2 (рис. 30).
Действительно, четырехугольники ABA2C и ABCB2 —параллелограммы и поэтому CA2 = AB = CB2. Аналогично точки A и B —середины отрезков B2C2 и C2A2. Высоты AA1, BB1, CC1 треугольника ABC суть серединные перпендикуляры к сторонам треугольника A2B2C2. Они, как известно, пересекаются в одной точке—центре окружности, описанной около треугольника A2B2C2.
Следствие. Центр описанной около треугольника окружности является ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
Д о к а з а т е л ь с т в о 2 (векторное). Для любых четырех точек A, B, C и D имеет место векторное тождество: (4.6)
в чем легко убедиться, выполнив подстановки:
BC = Если, в частности, и , то из тождества (4.6) следует, что и Геометрически это означает, что если прямые BC и AD перпендикулярны и прямые CA и BD перпендикулярны, то перпендикулярны и прямые AB и CD. Иными словами, если точка D есть точка пересечения двух высот AA1 и BB1 треугольника ABC, то через нее проходит и третья высота CC1.

Ортоцентр треугольника ABC будем обозначать буквой H, если на то нет других указаний.
Очевидно замечательное свойство ортоцентра H непрямоугольного треугольника ABC: каждая из четырех точек A, B, C, H является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими точками.
Д о к а з а т е л ь с т в о 3. Рассмотрим треугольник A1B1C1 с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис. 31). Он называется ортотреугольником треугольника ABC. Находим: C Поэтому , вследствие чего и, значит, Аналогично находим, что . Следовательно, AA1 —биссектриса угла B1A1C1. На равных правах BB1 и CC1 —две другие биссектрисы треугольника A1B1C1.

Итак, высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольникa. Они пересекаются в центре вписанной в него окружности. Теорема доказана для остроугольного треугольника. Пусть теперь угол BAC тупой и высоты BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H (рис.32). Тогда углы треугольника BCH острые (это непрямые углы прямоугольных треугольников) и CB1 и BC1 —его высоты, пересекающиеся в точке A. По доказанному третья высота проходит через A, т. е. HA ? BC. Доказательство закончено.
Следствие. Ортоцентр остроугольного треугольника служит центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Теорема. Если O —центр окружности, описанной около треугольника ABC, H —его ортоцентр, то
(4.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Данный треугольник ABC гомотетичен его серединному треугольнику A1B1C1 при гомотетии с центром G и коэффициентом k = ?1/2. При этой гомотетии (поскольку O —ортоцентр треугольника A1B1C1). Поэтому , что эквивалентно
откуда и следует (4.7).
Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Для точек H и O запишем векторные условия Представим их так: Вычитая, получим: Аналогичным образом
Векторы BC и CA ненулевые и неколлинеарны. Поэтому последние два равенства могут выполняться совместно лишь тогда, когда

4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника.
Если O —центр описанной около треугольника ABC окружности, то равенства (4.1) и (4.7) выполняются совместно, а из них следует:

Это значит, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем центроид G делит отрезок OH в отношении 1:2. Прямая, содержащая эти точки, называется п р я м о й Э й л е р а треугольника (рис. 33).
Расстояние между центрами O и I описанной и вписанной окружностей и радиусы R и r этих окружностей связаны замечательной формулой:
, (4.8)
называемой формул о й Эй л е р а. Вот два доказательства этой формулы.
Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Пусть биссектриса угла C треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D (рис. 34). Проведем диаметр DP этой окружности и перпендикуляр IK из центра I вписанной окружности на сторону AC. Тогда IK = r, DP = 2R.
Пусть прямая OI пересекает окружность в точках M и N. По теореме
о секущих (п. 2.5)
где d = OI. Это же произведение CI · ID вычислим иначе. Из подобия прямоугольных треугольников PAD и CKI (по равным острым углам при вершинах P и C) имеем Но AD =ID (задача 1.8). Поэтому CI · ID = 2Rr. Следовательно, R2 ? d2 = 2Rr, что совпадает с (4.8).
Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Обращаясь к равенству (4.4), будем теперь полагать, что точка O —центр описанной окружности. Тогда находим последовательно:
причем OA = OB = OC = R. По теореме косинусов (3.6) 2OA · OB =
. Поэтому, выполняя подстановки и группировку слагаемых, получим:

Вспоминая, что , откуда , приходим к доказываемой формуле (4.8).
З а д а ч а. Известны углы треугольника. Найти отношения, в которых ортоцентр треугольника делит каждую из высот.
Решение. Пусть AA1 и CC1 —высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H (рис. 35).


Тогда треугольники CHA1 и AHC1 подобны. Сначала находим:

С другой стороны, так как . Следовательно, откуда . (4.9)
Если отрезки высот считать направленными, то этот результат верен и
для тупоугольного треугольника.
2.3. Существование окружности девяти точек. Имеет место:
Теорема. В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине E отрезка OH и радиусом
Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Пусть A1, B1, C1 —середины сторон BC,CA, AB треугольника ABC, H1, H2, H3 —основания соответствующих высот и A2, B2, C2 —середины отрезков AH, BH, CH соответственно (рис. 38). Тогда четырехугольники B1C1B2C2 и C1A1C2A2 являются прямоугольниками. В самом деле, отрезки B1C1 и B2C2 как средние линии треугольников ABC и HBC параллельны BC и равны ее половине. Поэтому четырехугольник B1C1B2C2 —параллелограмм. Кроме того, в нем B1C2//AH, но AH+BC, поэтому B1C2+B2C2. Для четырехугольника C1A1C2A2 доказательство аналогично. Эти прямоугольники имеют общую диагональ C1C2. Значит, их диагонали равны и пересекаются в одной точке E. Поэтому точки A1, B1, C1, A2, B2, C2 лежат на одной окружности с центром E. Так как из точек H1, H2, H3 диаметры этой окружности видны под прямыми углами, то эти точки ей
принадлежат. Треугольник A1B1C1 подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия k= 1/2, вследствие чего радиус описанной около него окружности вдвое меньше радиуса R окружности ABC. Треугольники
A1B1C1 и A2B2C2 симметричны относительно точки E. Следовательно, их ортоцентры O и H симметричны относительно E (O —центр окружности ABC).
Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Примем во внимание, что точки, симметричные ортоцентру H треугольника относительно его сторон и середин сторон, принадлежат описанной около треугольника окружности (задача 4.2). Зададим гомотетию с центром H и коэффициентом 1/2. При этой гомотетии прообразами девяти точек, рассматриваемых в теореме, являются точки описанной окружности (рис. 39). Гомотетия отображает описанную около треугольника ABC окружность (O;R) на окружность , которой принадлежат все девять указанных в теореме точек. Поскольку O > E, то E —середина OH.


Окружность называют окружностью девяти точек треугольника. «Эта окружность—первое волнующее, с чем мы встречаемся в курсе элементарной геометрии»,—говорил Даниэль Пидо.
Итак, окружность девяти точек треугольника гомотетична его описанной окружности относительно ортоцентра этого треугольника. Окружность девяти точек треугольника ABC описана около его серединного треугольника A1B1C1 и около его ортотреугольника H1H2H3.
2.4. Теорема Фейербаха. В 1804 г. окружность девяти точек была уже известна. Иногда ее приписывают Л. Эйлеру, который в 1765 г. доказал, что серединный треугольник и ортотреугольник данного треугольника имеют общую описанную окружность. Карл Фейербах (1800—1834), немецкий математик, брат известного философа Людвига Фейербаха, частично переоткрыл результат Эйлера и в 1822 году доказал еще одно удивительное свойство окружности девяти точек.
Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек треугольника касается внутренне его вписанной окружности и касается внешне каждой из трех вневписанных окружностей.
Докажем сначала внутреннее касание окружности и вписанной окружности (I; r). Очевидно, задача сводится к доказательству равенства
(6.1)
Используем разложения (4.7) и (4.4) векторов
Учитывая, что , находим:
Поскольку
то
Сумма слагаемых, содержащих Поэтому
Докажем, что
(6.2)
Для этого заметим сначала, что
и аналогично
(6.3)
После выполнения этих замен и подстановки доказываемое равенство (6.2) принимает вид:
(6.4)
Так как то
Этому же выражению равна и правая часть доказываемого равенства (6.4):
Итак, соотношение (6.2) доказано. В силу его Таким образом, верно (6.1) и тем самым доказана первая часть теоремы Фейербаха. Доказательство внешнего касания окружности девяти точек с вневписанными окружностями выполняется вполне аналогично. С использованием представления вектора проверяется условие внешнего касания


§3. Вневписанные окружности треугольника

3.1. Существование вневписанных окружностей обусловлено теоремой: биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя внешними, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, касающейся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (вневписанная окружность).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В любом треугольнике ABC две биссектрисы внешних углов (внешние биссектрисы) всегда пересекаются. В самом деле, сумма трех внешних углов равна ?360?^°, поэтому сумма двух из них меньше ?360?^°и, значит, сумма половин двух внешних углов меньше? 180?^°.
Тогда две внешние биссектрисы пересекаются (в той полуплоскости от стороны треугольника, которая этот треугольник не содержит), так как если бы они оказались параллельными, то сумма внутренних односторонних углов была бы равна ?180?^°(рис. 36). Точка I_1 пересечения внешних биссектрис равноудалена от прямых, содержащих стороны AB и BC. Поэтому через нее проходит биссектриса внутреннего угла A.
Окружность с центром I_1 и радиусом r_1, равным расстоянию от точки I_1 до стороны касания треугольника ABC, касается стороны BC в ее внутренней точке X_1 и продолжений сторон AC и AB в точках Y_1 и Z_1. Она называется вневписанной окружностью треугольника.
Всего существует три вневписанные окружности треугольника, соответствующие трем его сторонам (рис. 37).

Рис. 36
Рис. 37
3.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окружностям. Введем обозначения, указанные на рис. 37. Используя равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

Тогда находим:
Аналогично получим

Далее, Аналогично


3.3. Зависимость между радиусами вписанной, вневписанных и описанной окружностей треугольника. Сначала докажем такие формулы
площади треугольника:

где r, r_2, r_3 —радиусы вневписанных окружностей с центрами I_1, I_2,I_3 соответственно.
Обращаясь к рис. 36, замечаем, что

С равным правом Теперь с помощью формул
(5.3) и формулы S = pr находим:

Итак,

Имеет место еще одно замечательное соотношение:

Непосредственной проверкой убеждаемся в истинности равенства
p(p?b)(p?c)+p(p?c)(p?a)+p(p?a)(p?b)?(p?a)(p?b)(p?c)=abc.
Поскольку abc = 4SR, то
p(p?b)(p?c)+p(p?c)(p?a)+p(p?a)(p?b)?(p?a)(p?b)(p?c)=4SR.
Используя формулы (5.3) и , получаем:

откуда


Глава 2. Четырехугольники.
§1. Вписанные и описанные четырехугольники

Если все вершины четырехугольника принадлежат окружности, то он называется вписанным в эту окружность, а окружность—описанной
Рис. 40
около него. Если окружность касается каждой стороны четырехугольника во внутренних точках его сторон, то он называется описанным около этой окружности, а окружность—вписанной в него.
Следуя традиции, мы исключаем из рассмотрения четырехугольники с самопересечением сторон, пример которого представлен на рис. 40, где в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и CD пересекаются в своих внутренних точках. Четырехугольники без самопересечения сторон называются простыми четырехугольниками.
Вписанные и описанные простые четырехугольники являются необходимо выпуклыми.

1.1. Критерии вписанного четырехугольника. Так как центр описанной около четырехугольника окружности равноудален от его вершин, то он принадлежит серединным перпендикулярaм к его сторонам и диагоналям.


Обратно, если серединные перпендикуляры к трем сторонам четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его вершин и поэтому будет центром описанной около него окружности (рис. 41).
Итак, для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы серединные перпендикуляры к трем его сторонам пересекались в одной точке.
Другой критерий вписанного четырехугольника связан с его углами.
Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180° (т. е. суммы его противоположных углов были равны).

Н е о б х о д и м о с т ь этого условия очевидна: сумма углов A и C вписанного четырехугольника ABCD (рис. 41) измеряется полусуммой дуг BCD и BAD, составляющих полную окружность, и потому равна 180°.
Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть .Тогда эти углы не могут быть оба острыми или оба тупыми. Для определенности будем
считать, что Опишем около треугольника ABD окружность и докажем, что точка C ей принадлежит. Для этого необходимо опровергнуть два возможных предположения:

1) точка C находится вне окружности, 2) она лежит внутри окружности.
При первом предположении и условии стороны BC и DC пересекают окружность вторично в своих внутренних точках E и F (рис. 42).
Тогда для вписанного четырехугольника ABED по необходимому условию будет . По теореме о внешнем угле треугольника и потому , что противоречит условию. Второе предположение аналогично приводит к противоречию
. Доказательство закончено.
Если принять во внимание случай, представленный на рис. 40, где точки A и C лежат в одной полуплоскости от прямой BD, то имеем более общий критерий принадлежности четырех точек A, B, C, D одной окружности:
Для того, чтобы точки A, B, C, D лежали на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы углы BAD и BCD (или же углы
ABC и ADC) в сумме составляли 180° или же эти углы были равны.
1.2. Критерии описанного четырехугольника. Так как центр окружности, вписанной в четырехугольник, равноудален от его сторон, то он принадлежит биссектрисе каждого из его углов. Следовательно, биссектрисы углов описанного четырехугольника пересекаются в одной точке—центре вписанной в него окружности. Обратно, если биссектрисы трех углов четырехугольника пересекаются в одной точке, то эта точка будет равноудалена от всех его сторон, т. е. будет центром вписанной в этот четырехугольник окружности (рис. 43).
Итак, для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы биссектрисы трех его углов пересекались в одной точке. Другой критерий описанного четырехугольника связан с его сторонами.

Теорема. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных сторон были равны.
Необходимость этого условия следует из равенства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки: AB + CD = (x + y) + (z + t) = =(y + z) + (x + t) = BC + AD (рис. 44).
Обратно, пусть четырехугольник ABCD выпуклый и AB + CD =BC +AD. Докажем, что в него можно вписать окружность. Действительно, биссектрисы углов ABC и BAD всегда пересекаются, так как сумма этих углов меньше 360, значит, сумма их половин меньше 180.


Точка I пересечения биссектрис этих углов есть центр окружности, касающейся сторон AB, BC и AD четырехугольника (рис. 45). Покажем, что четвертая сторона CD также касается этой окружности. Возможны два предположения: 1) CD не пересекает окружность, 2) CD пересекает окружность. При первом предположении построим какую-нибудь касательную к окружности, не пересекающую отрезок CD. Тогда по необходимому условию для описанного четырехугольника имеем: AB + C1D1 = BC1 + AD1. Но так как BC1 = BC ? CC1, AD1 = AD ? DD1, то AB + C1D1 = BC ? CC1 + AD ? DD1, откуда C1D1 + CC1 + DD1 = BC + AD ? AB.
Из условия AB + CD = BC + AD следует BC + AD ? AB = CD. Следовательно, C1D1 +CC1 +DD1 =CD. Оказалось, что в четырехугольнике CC1D1D одна сторона равна сумме трех других, что невозможно. Аналогично опровергается второе предположение. Теорема доказана.

Отметим, что условие выпуклости четырехугольника существенно, поскольку существуют невыпуклые четырехугольники, у которых суммы противоположных сторон равны. Однако в невыпуклый четырехугольник нельзя вписать окружность (не выполнено необходимое условие). Пример невыпуклого четырехугольника, имеющего равные суммы противоположных сторон, можно получить, если для описанного четырехугольника ABCD построить точку K, симметричную C относительно BD (рис. 46). Тогда AB + CD = BC + AD и BC = BK, CD = DK. Поэтому AB + KD = BK + AD и четырехугольник ABKD невыпуклый.
1.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником. Можно получить другие практически полезные критерии описанного четырехугольника через сопутствующий ему невыпуклый четырехугольник.
Теорема. Пусть BD —внешняя диагональ невыпуклого четырехугольника ABCD и его противоположные стороны пересекаются в точках B1 и D1 (рис. 47). Для того, чтобы в четырехугольник AB1CD1 можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
1) суммы противоположных сторон четырехугольника ABCD равны, 2) BB1 + DB1 = DD1 + BD1.

Докажем сначала н е о б х о д и м о с т ь этих условий. Пусть в четырехугольник AB1CD1 вписана окружность, касающаяся его сторон в точках P, M, Q, N (рис. 47). Тогда получаем: AB + CD =AM +MB + DQ ? CQ и AD + BC = AP + PD + BN ? CN. Так как AM = AP, BM = BN, DP =DQ и CQ= CN, то AB + CD =AD + BC. Далее аналогично находим: BB1 +DB1 = BM ?MB1 + B1Q+QD = BM +QD и DD1+BD1=DP ?D1P +D1N +NB=DP +NB. Поскольку BM =BN и DP = DQ, то BB1 + DB1 = DD1 + BD1.
Докажем теперь д о с т а т о ч н о с т ь каждого из двух условий теоремы....


Заключение.
После изучения темы данной работы можно сделать вывод, что тема метрические соотношения для многоугольников вписанных, описанных и вневписанных в окружность метод проектов очень хорошо помогает учителям в обучении математике. Ученики, выполняющие проект, видят практическое применение знаний математики в жизни.
В ходе написания выпускной квалификационной работы была рассмотрена история появления метода проектного обучения, показано влияние данного метода на развитие учебного процесса в школе, изучен вклад данного метода в развитие образования.
Можно сказать, что в основе метода проектов лежит работа учеников в группах. Большой уклон делается на общение учеников между собой, обработке информации, умении находить именно то, что требуется в теме проекта. Чтобы находить данные для проектов, можно использовать учебную литературу, интернет - ресурсы, что для современных школьников удобно. Темы проектов лучше подбирать не узконаправленные, это дает ученикам свободу творчества, возможность сделать проект таким, каким они его видят. Данный метод положительно влияет на коллектив, так как ученики могут общаться не только в школьное время, а также вне ее стен.
В основе метода проектов лежит групповая работа (2-3 ученика) школьников, при этом работа в группах организуется с учетом индивидуальных способностей, возможностей и межличностных отношений конкретных учащихся. Сами ребята определяют старшего в каждой группе и распределяют роли. Очевидно, что при таком подходе школьники работают активно и самостоятельно.
Так же в выпускной квалификационной работе были рассмотрены типы проектного обучения. Исходя из этих типов, можно сказать, что данный метод можно использовать с разных сторон, так как тему можно выбрать любую, это поможет заинтересовать учеников. Метод проектов можно использовать на любом уроке, есть возможность делать смежные проекты.
Описанные в выпускной квалификационной работе этапы работы над проектом показывают, что их не так сложно реализовать. Что бы их выполнить не требуется сверх знаний. Интересно подобранная тема может помочь раскрыть в учениках скрытые таланты, так как при поиске информации они будут посещать различные сайты, читать статьи, работать в различных онлайн и офлайн программах для разработки проекта.
В выпускной квалификационной работе приведены примеры проектов в школе. При выборе темы проекта, необходимо отталкиваться от возраста учеников. Так же необходимо уделить особое внимание критерии оценивания проекта. Для всех заданий, которые будут в проекте, необходимо подобрать точное количество баллов. Обязательно нужно указать, что будет, если задание в проекте будет больше или меньше положенного. Так же необходимо выбрать, как будет контролироваться работа в течение проекта. Указать точное количество в группах и точный срок сдачи проекта, если будет проводиться промежуточная проверка, необходимо указать форму и дату проверки, что необходимо точно выполнить к данному сроку. И самое главное как будет проверяться весь проект, кто будет участвовать, кто будет оценивать.
Проекты дают возможность реального общения с людьми в школе и в не ее, на различные интересующие темы. Это дает возможность узнать много нового в той области знания, которая их интересует, обменяться мнениями, советоваться.
Если ученик сумеет справиться с работой над учебным проектом, можно надеяться, что в настоящей взрослой жизни он окажется более приспособленным: сумеет планировать собственную деятельность, ориентироваться в разнообразных ситуациях, совместно работать с различными людьми, т.е. адаптироваться к меняющимся условиям


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.