На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Методи розязання квадратних рвнянь

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 07.10.2016. Сдан: 2016. Уникальность по antiplagiat.ru: 29.

Описание (план):



ВСТУП
Розв’язання багатьох практичних завдань зводиться до розв’язання різних видів рівнянь, які необхідно навчитися розв’язувати.
Відомі нам джерела свідчать про те, що стародавні вчені володіли якимись загальними прийомами розв’язання завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, на жодній глиняній табличці не надано опису цих методів. Автори лише зрідка супроводжували свої числові викладки скупими коментарями типу: «Дивись!», «Роби так!». В цьому сенсі виключенням є «Арифметика» грецького математика Діофанта Александрійського – збірник задач та рівнянь з систематичним викладом їх розв’язків.
Рівняння другого степеню вміли розв’язувати ще в стародавнім Вавилоні. Математики Стародавньої Греції розв’язували квадратні рівняння геометричним методом. Задачі, що зводяться до квадратних рівнянь, розглядаються у багатьох стародавніх математичних рукописах і трактатах.
Виведення формули розв’язання квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVIст. враховують, крім додатних і від’ємні корені. Лише в XVIIст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених метод розв’язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.
Квадратні рівняння – це фундамент, на якому спочиває велична структура алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при розв’язуванні тригонометричних, показникових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентні рівнянь та нерівностей.
У шкільному курсі математики вивчається формули коренів рівняння, за допомогою яких можна розв’язувати будь-яке квадратне рівняння. Однак маються і інші методи розв’язку, які дозволяють дуже швидко та раціонально розв’язувати багато рівнянь. У цій роботі буде розглянуто деякі з них.?
І. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ


Квадратним рівнянням називають рівняння виду , де коефіцієнти – будь-які дійсні числа, причому . Коефіцієнти розрізняють по назві: – перший або старший коефіцієнт; – другий або коефіцієнт при х; – вільний член, вільний від змінної х.
Квадратне рівняння також називають рівнянням другого степеня, оскільки його ліва частина є многочленом другого степеня. Квадратне рівняння називають зведеним, якщо старший коефіцієнт дорівнює 1; квадратне рівняння називають не зведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від 1. – стандартний вид зведеного квадратного рівняння.
Крім зведених та не зведених квадратних рівнянь розрізняють також повні та неповні. Повне квадратне рівняння – це квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданки; іншими словами, це рівняння, у якого коефіцієнти і відмінні від нуля. Неповне квадратне рівняння – це рівняння, в якому присутні не всі три доданки; іншими словами, це рівняння, у якого хоча б один з коефіцієнтів і дорівнює нулю. Зверніть увагу: про мови нема, цей член завжди присутній в квадратному рівнянні.
Коренем квадратного рівняння називають будь-яке значення змінної х, при якому квадратний тричлен перетворюється на нуль; таке значення змінної х називають також коренем квадратного тричлена.
Можна сказати й так: коренем квадратного рівняння – є таке значення х, підставлення якого у рівняння перетворює рівняння в вірну числову рівність.
Розв’язати квадратне рівняння – це значить знайти всі його корені або встановити, що їх нема.?
ІІ. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ НА РІЗНИХ ЕТАПАХ РОЗВИТКУ МАТЕМАТИКИ


У розвитку математики можна виділити чотири основних етапи:
• Стародавній Вавилон
• Античний мир
• Епоха Відродження у Європі
• Середньовіковий Схід
Розглянемо, яким саме чином розв’язували квадратні рівняння в різні часи та чи схожі ці розв’язки на сучасні.


2.1 Стародавній Вавилон (І тисячоріччя до н.е.)

Імена математиків того часу не зберіглися. Математика того часу вважалася знанням для обраних, нею володіли жреці, які ретельно оберігали інформацію від непосвячених. Основним принципом того часу була вказівка до дії (роби як Я). Пояснення при розв’язуванні рівнянь в той час відсутнє. Виведення формул нема. Дається тільки рецепт розв’язку конкретного квадратного рівняння, алгоритм носить загальний характер. Правила розв’язку цих рівнянь, викладені у Вавилонських текстах, співпадає по суті з сучасним, однак невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Надивлячись на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття від’ємного числа та загальні методи розв’язку квадратних рівнянь.




Приклад 2.1
Розвязок предків Сучасний розвязок
Я відняв з площі одну сторону мого квадрата та отримав 870.

Взяв цю одну і розділив навпіл
Помножив на саму себе

Додав до 870


Що є квадратом

Додаймо те, що отримали до першої половини







Додали вільний коефіцієнт







і отримали формулу для парного коефіцієнта
Насторожує відсутність другого кореня квадратного рівняння (його легко знайти по теоремі, оберненій теоремі Вієта). В стародавньому Вавилоні не оперували з від’ємними числами, всі задачі визначалися практичним застосування. Тому отримано лише додатній корень.
Приклад 2.2
Довжина та ширина разом 14. Площа 40. Знайти довжину та ширину.
Можна здогадатися, що мова йде про прямокутник зі сторонами х та у.
Записуємо систему рівнянь, використовуючи умови задачі.


Дану систему можна розв’язати кількома способами:
1) Можна використати метод підстановки;
2) Можна записати по теоремі Вієта квадратне рівняння і розв’язати його. Цей метод ми і розглянемо.
Знайти квадрат довжини та ширини, взятих разом:



Квадрат довжини та ширини, взятих разом дорівнює 196 (Розкриваємо дужки).
.

Якщо взяти чотири площі, то це 160: .
Відняти від квадрата ці чотири площі, отримаємо:



Це означає, що довжина перевищує ширину на 6.
Складемо суму довжини та ширини з їх різницею:



А тепер від суми віднімемо різницю, отримаємо:



Відповідь: довжина 10, ширина 4.
Для простих систем рівнянь зручно було користуватися стандартними способами, для більш складніших – шукали свої шляхи розв’язку.


2.2 Античний мир (ІІ ст. до н.е. – IV ст. н.е., Архімед, Евклід).

Ще один метод розв’язку квадратних рівнянь розробив Евклід. Раніше рівняння розв’язували по зразку, нічого не пояснюючи. В Античності з’являється обов’язкова вимога пояснювати розв’язок. Геометрія в ті часи вважалась наукою всіх наук.
Тому зараз подивимось на квадратне рівняння з точки зору геометрії.
Приклад 2.3.
Дано рівняння:
Від’ємні числа в ті часи ще не знали, наблизився до них тільки Діофант. Тому розглядаємо розв’язок, використовуючи тільки додатні числа.
В цьому рівнянні коефіцієнти .
Записаний вираз нагадує теорему Піфагора. Якщо розглядати , то проводячи паралель з теоремою Піфагора можна здогадатись, що знаходимо катет (тому що стоїть знак мінус). В цьому випадку гіпотенуза дорівнює , катет .


Виконаємо побудову прямокутного трикутника за допомогою циркуля (рисунок 2.1).

З центром у точці Р будуємо півколо радіусом (РА – гіпотенуза). Від точки Р відкладемо вправо відрізок (РМ – катет). В такому випадку відстань СМ та КМ :



Для розв’язку алгебраїчної задачі використовувалася геометрія. В стародавні часи часто зустрічається синтез алгебри та геометрії.
Діофант – грецький вчений в ІІІ ст. н.е., не вдаючись до геометрії, чисто алгебраїчним шляхом розв’язував деякі квадратні рівняння, причому саме рівняння та його розв’язок записував у символічній формі.
Приклад 2.5.
«Знайти два числа, якщо відомо, що сума дорівнює 20, а їх добуток 96».
З умови задачі виходить, що числа, які шукають, не рівні, тому, що якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100.
Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто , друге ж менше, тобто . Різниця між ними .
Звідси і рівняння:



Висновок: одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше – 8.
Діофант вмів розв’язувати дуже складні рівняння, застосовував для невідомих літерні позначення, ввів спеціальний символ для обчислення, використовував скорочення слів.


2.3. Середньовічний схід (ІХ століття н.е. аль-Хорезмі).

В ті часи всі обчислення проводилися в розумі, все пояснювалося на словах, тому за розв’язком дуже складно встежити.
Задачі розв’язувалися геометричним способом. Відомий середньоазіатський математик аль-Хорезмі у 825р. написав книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Це був перший в світі підручник алгебри. Він дав класифікацію лінійних та квадратних рівнянь та способи їх розв’язку. Загальний розв’язок квадратного рівняння він не розглядував, тому що його не цікавили рівняння, у яких не було ні єдиного додатного кореня. Він намагався записати рівняння так, щоб всі його члени виступали в якості доданків, а не від’ємників. У трактаті Хорезмі нараховується шість видів рівняння, висловлюючи їх наступним чином:
1. «Квадраты равны корням», тобто
2. «Квадраты равны числу», тобто
3. «Корни равны числу», тобто
4. «Квадраты и числа равны корням», тобто
5. «Квадраты и корни равны числу», тобто
6. «Корни и числа равны квадратам», тобто
Розберемо задачу аль-Хорезмі «Квадрат и число равны корням», яка зводиться до розв’язку квадратного рівняння.
Один квадрат та число 21 дорівнюють 10 кореням того ж квадрата, тобто запитується, з чого утворюється квадрат, який після додавання до нього 21 дорівнює 10 кореням того ж квадрат?
Використовуючи четверту формулу аль-Хорезмі, учні мали б записати:
Чому? В ті часи ще не знали від’ємних чисел, ідея таких чисел вносить загальні методи розв’язку, спрощує алгоритм. Крім алгебраїчного метода знаходження кореня аль-Хорезмі зазвичай пропонував і геометричний.
Приклад 2.6.
Квадрат і десять його коренів дорівнюють 39. Тобто по п’ятій формулі аль-Хорезмі отримуємо наступне рівняння
Малюємо квадрат, сторона якого позначається невідомою величиною х. Тоді – площа квадрата зі стороною х, – площа прямокутника зі сторонами 10 та х (рисунок 2.2).
«Раздвои» число коренів (коренів 10, роздвоїли, отримали 5). Побудуй великий квадрат.
Площа найменшого квадрата 25 . Площа зафарбованної фігури 39. Площа великого квадрата дорівнює
Тобто:


Виникає питання: «Де ще один корень?». Другий корень від’ємний. По теоремі Вієта: .
Роздвоїти прямокутники вдалося легко за рахунок парного коефіцієнта. Це наочно, красиво, просто, але важко для інших рівнянь. Тому такий спосіб розв’язку не розвився далі.
Приклад 2.7.
Розв’яжемо рівняння .
Намалюємо квадрат аль-Хорезмі, роздвоївши прямокутники (рисунок 2.3.)
Зробивши потрібні висновки, отримаємо:

Відповідь: –4; 1.
Приклад 2.8.
Розв’яжемо подібним методом рівняння з комплексними коренями
У стародавні часи вчені, напевно, сказали би, що таке рівняння не має ні смислу ні коренів, не маючи уявлення про від’ємні числа. Але зараз це можливо. Перевіримо такий метод для комплексних чисел.
Отже (рисунок 2.4):


Отже, можна зробити висновок, що такий метод, хоча й стародавній, і не дуже відомий, але працює для будь якого квадратного рівняння.
Бхаскаре–Акариа – індійський математик у ХІІ ст. н.е. відкрив загальний метод розв’язку квадратних рівнянь. Розглянемо одну з задач Бхаскари.
«Зграя мавп бавиться: восьма частина всього числа їх в квадраті пустує в лісі, інші дванадцять кричать на вершині пагорба. Скажіть мені, скільки всіх мавп?».
Даній задачі відповідає рівняння Бхаскара пише його під видом Додаючи до обох частин квадрат 32, рівняння приймає вигляд:



«В даному випадку, – говорить Бхаскара, – від’ємні одиниці першої частини такі, що одиниці другої частини менше за них, а тому останні можна вважати і додатними і від’ємними, та отримаємо подвійне значення невідомого: 48 та 16».
Необхідно зробити висновок, що розв’язок Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратного рівняння.


2.4. Європа. Епоха відродження (розглянемо конкретний час – XVI ст. н.е. Франсуа Вієт).

Франсуа Вієт – французький математик, сформулював та довів теорему про суму та добуток коренів приведеного квадратного рівняння.
Вієт Франсуа (13.12.1540 – 1603) народився у місті Фонтене ле-Конт провінції Пуату, недалеко від знаменитої фортеці Ла-Рошель. Отримавши юридичну освіту, він з девятнадцяти років успішно займався адвокатською практикою в рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом і повагою. Він був широко освіченою людиною. Знав астрономію і математику і весь вільний час віддавав цим наукам.
Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори класиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомбеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, що полягає в труднощі розуміння через словесну символіку: майже всі дії і знаки записувалися словами, не було натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємося. Не можна було записати і, отже, почати в загальному вигляді алгебраїчні порівняння або якісь інші алгебраїчні вирази. Кожен вид рівняння з числовими коефіцієнтами вирішувався по особливому правилу. Тому необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від цих самих чисел не залежать. Вієт і його послідовники встановили, що не має значення, чи буде розглянуте число кількістю предметів або довжиною відрізка. Головне, що з цими числами можна робити алгебраїчні дії і в результаті знову отримувати числа того ж роду. Значить, їх можна позначати будь-якими абстрактними знаками. Вієт це і зробив. Він не тільки ввів своє буквене числення, але зробив принципово нове відкриття, поставивши перед собою мету вивчати не числа, а дії над ними. Такий спосіб запису дозволив Вієту зробити важливі відкриття при вивченні загальних властивостей алгебраїчних рівнянь. Не випадково за це Вієта називають "батьком" алгебри, основоположником буквеної символіки.
Син прокурора, Вієт отримав юридичну освіту і почав адвокатську практику. Але незабаром він став секретарем і домашнім учителем у домі знатного дворянина–гугенота де Партеніт. Тоді Вієт дуже захопився вивченням астрономії і тригонометрії. Знайомство Вієта з Генріхом Наваррским, майбутнім королем Франції Генріхом IV допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду – таємного радника.
Одним з найбільших досягнень Вієта на королівській службі була розгадка шифру, в якому налічувалося понад 500 знаків, мінялися час від часу. Цим шифром користувалися недруги французького короля в Нідерландах для листування з іспанським двором. Хоча французи часто перехоплювали листи з Іспанії, розшифрувати їх ніхто не міг. Тільки Вієт швидко знайшов ключ. Іспанці не уявляли собі всього могутності людського розуму. Вони думали, що французам допомагає диявол. Вони навіть скаржилися римському папі і просили його знищити диявольську силу.
Приведені квадратні рівняння легко розв’язувати за теоремою Вієта. Достатньо знайти такі два числа, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума – другому коефіцієнту з протилежним знаком.
Приклад 2.9 Для рівняння потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 12, а сума 7. Такими числами будуть 3 та 4. Отже
Розглянемо на прикладі, ще один метод розв’язання рівняння, що був відкритий в ті часи.
Приклад 2.10 Розв’язати рівняння Вводимо нову зміну (на перший погляд ускладнюємо рівняння, але подивимось, до чого це призведе):




Нам потрібно отримати неповне квадратне рівняння. При якому значені а це вийде?



Тобто в нашому випадку Отримаємо:



Основа методу – будь-яке повне рівняння заміною змінних приводимо до неповного квадратного рівняння.
Ця ідея дала товчок розвитку математики. З’явилося питання: «А чи можна розв’язувати рівняння третьої, четвертої, п’ятої та вищих степенів. Чи існує загальний метод розв’язку більш складних рівнянь?».
?
ІІІ. ІНШІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ

3.1 Метод «перекиду».

Розглянемо квадратне рівняння де
Множимо обидві часті рівняння на а, отримаємо

Нехай , звідки тоді приходимо до нового рівняння рівносильне даному. Його корні та знайдемо за допомогою теореми Вієта. Остаточно отримаємо та .
При цьому методі перший коефіцієнт множиться на вільний член, ніби то «перекидається» до нього, тому його так називають метод «перекиду». Цей метод використовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта та, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.
Пример 3.1 Розв’яжемо рівняння
«Перекинемо» коефіцієнт 2 до вільного члену та зробив заміну отримаємо рівняння Згідно з оберненою теоремою Вієта отримаємо:

Відповідь:

3.2 Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай дано квадратне рівняння
1. Якщо (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то
2. Якщо або , тоді
Приклад 3.2. Розв’яжем рівняння
Так як ( ), то
Відповідь: 1;
Приклад 3.3. Розв’яжемо рівняння
Так як ( ), то
Відповідь:


3.3 Розв’язок квадратних рівнянь за допомогою циркуля та лінійки.

Графічний спосіб розвязання квадратних рівнянь за допомогою параболи незручний. Якщо будувати параболу по точках, то буде потрібно багато часу, і при цьому ступінь точності одержуваних результатів невелика. Пропонуємо наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння за допомогою циркуля та лінійки. Припустимо, що шукане коло перетинає вісь абсцис в точках і , де і – корені рівняння , і проходить через точки та на осі ординат. Тоді по теоремі о січних маємо , звідки



Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів та , встановлених в серединах хорд та , тому



Отже:
1. Будуємо точки (центр кола) та
2. Проводимо коло радіусом
3. Абсциса точок перетину цього кола з віссю є коренями квадратного рівняння.
При цьому можливі три випадка.
1. Радіус кола більший за ординати центра або тоді воно перетинає вісь в двох точках (рисунок 3.2) та де – корені квадратного рівняння
2. Радіус кола дорівнює ординаті центру або тоді воно торкається віссі (рисунок 3.3) у точці де – корень квадратного рівняння.
3. Радіус кола менший за ординату центру або коло не має спільних точок з віссю абсцис (рисунок 3.4), в такому випадку рівняння не має розв’язку.
Приклад 3.4 Розв’язати рівняння
Знайдемо координати точки центра кола по формулам:


Побудуємо коло радіуса де (рисунок 3.5).
Відповідь:
3.4 Розвязання рівнянь з використанням теореми Безу

При діленні на у залишку можемо отримати лише деяке число (якщо то ділення виконалося без залишку):

3.1

Щоб знайти значення , покладемо в тотожності 3.1 При цьому двочлен обертається в нуль, отримаємо, що
Отже, доведено твердження, що називається теоремою Безу.
Теорема 3.1 (Безу): залишок від ділення многочлена на двочлен дорівнює (тобто значенню при ).
Якщо число є коренем многочлена , то цей многочлен ділиться на без залишку.
Приклад 3.5 Розв’язати рівняння

Одним з коренів заданого рівняння має бути дільник вільного члену, тобто або . Перевірив це, бачимо, що є одним з коренів заданого рівняння
Розділимо на

Відповідь: ?
IV. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА


Приклад 4.1 Розв’язати рівняння в стилі Вієта

Віднімемо друге рівняння від першого:

Додаймо до суми різницю невідомих:

Віднімемо від суми різницю невідомих:

Відповідь: 1; 9.

Приклад 4.2 Розв’язати рівняння в стилі Евкліда

Відповідь: –9; –1.
Приклад 4.3 Розв’язати рівняння в стилі Вієта
Робимо заміну

Знайдемо при якому значенні ми отримаємо неповне квадратне рівняння:

В нашому випадку ми отримаємо:

Відповідь: –0,5; 1.

Приклад 4.4 Розв’язати рівняння в стилі Бхаскаре-Акариа

Відповідь: 1; 3.

Приклад 4.5 Розв’язати рівняння в стилі аль-Хорезмі

Відповідь: -1; 11.

Приклад 4.6 Розв’язати рівняння методом «перекиду»

Відповідь:

Приклад 4.7 Розв’язати рівняння використовуючи властивості коефіцієнтів

Відповідь: –2; 1.



Приклад 4.8 Розв’язати рівняння використовуючи властивості коефіцієнтів

Відповідь:

Приклад 4.9 Розв’язати рівняння за допомогою циркуля та лінійки

Будуємо коло з центром в точці та радіусом , де (рисунок 4.2). Намалювавши робимо висновки, що
Відповідь: 1; 4.

Приклад 4.10
Розв’язати рівняння за допомогою циркуля та лінійки

Будуємо коло (рисунок 4.3).
Відповідь:


Приклад 4.11 Розв’язати рівняння використовуючи теорему Бєзу
Можливе значення Перевіривши їх, бачимо, що за теоремою Бєзу заданий многочлен націло ділиться на (4+6–10=0).










0

Відповідь: -5; 2.

Приклад 4.12 Розв’язати рівняння використовуючи теорему Бєзу
оскільки 4–18+14=0.










0

Відповідь: –7; –2.

?
ВИСНОВОК

Формула розв’язку квадратного рівняння відома з незапамятних часів. У XVI ст. Італійські алгебраїсти розв’язали в радикалах рівняння третього і четвертого ступенів. Було встановлено, що корені будь-якого рівняння не вище четвертого ступеня виражаються через коефіцієнти рівняння формулою, в якій використовуються тільки чотири арифметичні операції (додавання, віднімання, множення та ділення) і вилучення коренів степені що не перевищує степінь рівняння. Крім того всі рівняння даного степеня можна «обслужити» однією формулою. Після цього природньо виникло питання: а чи є схожі формули для розв’язку рівнянь пятого степеня і вище. Загальної формули для таких рівнянь не існує. Це довів молодий норвезький учений Нільс Хенрік Абель. Однак, це не означає, що неможливо розв’язати ті чи інші приватні види рівнянь високих степенів. Нові відкриття в розв’язку рівнянь зробив французький вчений Еваріст Галуа. Він загинув на дуелі в 20 років. Свої результати він виклав у листі, написаному в ніч перед поєдинком. Потрібні були десятиліття, щоб теорія Галуа стала зрозуміла математикам.
Підводячи підсумки, можна зробити висновок: квадратні рівняння відіграють величезну роль у розвитку математики. Всі ми вміємо розв’язувати квадратні рівняння зі шкільної лави, до закінчення вузу. Ці знання можуть стати в нагоді нам протягом усього життя. Алгебра та геометрія – взаємоповязані.
Розглянуті методи розв’язку квадратних рівнянь можуть зацікавити учнів, що захоплюються математикою, дають можливість по-іншому подивитися на ті завдання, які ставить перед нами математика.



.............
?
ДЖЕРЕЛА


1) Мордкович А.Г. М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. – 4-е издание - М.: Мнемозина, 2002. – 223с.
2) Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3) Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4) Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
5) Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
6) Дидактические материалы по алгебре. М., Математика (приложение к газете "Первое сентября"), №№ 21/96, 10/97.
7) Шаталова С. Квадратные уравнения. Способы решения. //Математика, 1996, № 21.
8) Батаева Т. Изучаем квадратные уравнения//Математика, 2004, № 27-28.
9) Самойлова В. Урок-практикум по теме «Построение графика квадратичной функции» //Математика, 2007, № 8.
10) Мельникова Т.П. Устное решение квадратных уравнений. //Математика, 1997, № 10.
11) Куценко Е. Решение неполных квадратных уравнений. //Математика, 2004, № 4.
12) Малова В. Квадратные уравнения: два частных случая. // Математика, 2006, № 19.



Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.