Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Работа № 127826
Наименование:
Реферат Характеристические свойства равнобедренного треугольника
Информация:
Тип работы: Реферат.
Предмет: Математика.
Добавлен: 04.10.2021.
Год: 2021.
Страниц: 61.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Министерство образования и молодежной политики Свердловской области Департамент образования Администрации города Екатеринбурга Муниципальное образование «город Екатеринбург» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 119
Направление: Естественнонаучное Предметная область: Математика
Исследовательский проект: ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Научный руководитель проекта: учитель математики МБОУ СОШ № 119
2021 г. ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Введение 3 2. Теоретико-практическ е положения учения о характеристических свойствах объектов и отношений 6 2.1. Характеристическое свойство математического объекта 6 2.2. Формулировки «потенциальных» характеристических свойств равнобедренного треугольника 10 2.3. Про используемые способы доказательств 17 3. Доказательства некоторых сформулированных характеристических свойств 21 4. Заключение 56 5. Список литературы 58
? 1. Введение
В конце февраля 2020 года в нашей школе для учащихся 7-10 классов прошел цикл традиционных установочных уроков, на которых были освещены основные требования к исследовательской деятельности в рамках работы над учебными проектами. Так же на этих уроках участники городской научно-практической конференции поделились со слушателями своим опытом по созданию и защите исследовательских проектов. Кроме того, в рамках этого цикла, мы поучаствовали в практико-ориентирова ном мастер-классе по развитию математического воображения. Ценность развития этого качества заключается в том, что воображение важнее знания, ибо знание ограничено, кроме того, воображение является источником прогресса и важным фактором в преодолении инертности мышления и ускорения поиска решений поставленных задач. На данном мастер-классе мы тренировались выдвижению исследовательских гипотез, используя различные аналогии, которые были направлены на получение знаний о свойствах, признаках и отношениях выбранного объектов на основании знаний о его частичной схожести с другими математическими объектами. Каждый участник тренинга, получив несколько названий тем из учебников алгебры или геометрии, с помощью метода критической аналогии сконструировал новые модификации тем. Одной из тем, которая досталась авторам данного проекта, была тема «Характеристические свойства прогрессий». У нас получились следующие модификации: Слабовольные свойства прогрессий; Характеристические признаки прогрессий; Характеристические свойства равнобедренных треугольников. Первую и вторую модификации сразу же забраковали, а третья модификация получила положительную оценку. После этого был проведен анализ обширного количества свойств геометрических фигур и отношений из школьного учебника «Геометрия 7-9» [2]. Анализ показал, что характеристические свойства в этом учебнике почему-то вообще ни разу не упоминаются. Поэтому на этапе формулирования гипотез учебного исследования с помощью ключевых фраз, гипотеза нашего учебного исследовательского проекта появилась просто, закономерно и логично. Гипотеза исследования: если существуют характеристические свойства прогрессий, то можно предположить, что существуют характеристические свойства равнобедренных треугольников. Объект исследования данного проекта: равнобедренные треугольники. Предмет исследования: условия, при которых свойства и признаки равнобедренного треугольника становятся «характеристическими . Цель исследования: сформулировать характеристические свойства равнобедренного треугольника, доказать их истинность, а также определить максимально возможное количество характеристических свойств равнобедренных треугольников. Для достижения поставленной цели были определены следующие взаимосвязанные задачи: изучить основные положения учения о характеристических свойствах математических объектов; овладеть методом формулирования характеристических свойств математических объектов и составить соответствующие утверждения; доказать истинность сформулированных утверждений (если они истинны, то привести доказательства, а если нет, то построить контрпримеры); провести статистический анализ, обобщение и систематизацию результатов верно доказанных характеристических свойств равнобедренных треугольников. Поставленные задачи решались с применением следующих методов исследования: анализа научной и учебной литературы, касающейся определения и источников характеристических свойств, а также теории доказательства и/или опровержения характеристических свойств; практического доказательства характеристических свойств равнобедренных треугольников на основе использования прямых и косвенных методов доказательства, а также метода построения контрпримеров; анализа, обобщения и систематизации статистических данных. Данный учебный исследовательский проект был выполнен в соавторстве. Константин Галушка провел предпроектную работу, сформулировав тему и гипотезу исследования, подобрав научную и учебную литературу, касающуюся характеристических свойств, а также собрав воедино почти все известные свойства и признаки равнобедренных треугольников. После этого началась совместная работа над анализом собранных данных, а также осознание теоретических и практических положений данного учебного исследовательского проекта, конструирование и формулирование характеристических свойств равнобедренного треугольника, доказательство самостоятельно сформулированных теорем, обобщение и систематизация результатов исследования, выяснение практической значимости данного исследования, формулирование предложений по практическому использованию результатов исследования, определение направлений дальнейшего исследования по данной тематике.? 2. Теоретико-практическ е положения учения о характеристических свойствах объектов и отношений
2.1. Характеристическое свойство математического объекта И так, что же называют «характеристическим свойством» математического объекта? Само название указывает на то, что это такое свойство, которое характеризует этот объект, то есть выделяет из некоторой совокупности. Некоторые математики определяют характеристическое свойство как свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит [5]. Другие определяют его как свойство, которое выделяет данный объект среди других объектов и отличает его от других [11]. В математике характеристическое свойство иногда еще называют «критерием» либо словосочетанием «необходимое и достаточное условие». С необходимыми и достаточными условиями мы постоянно встречаемся на уроках геометрии, изучая свойства и признаки геометрических фигур и отношений. Возьмем высказывание A и высказывание B. Например: A-треугольник является равносторонним, B-треугольник является равнобедренным. Из этих высказываний A и B образуем новое высказывание: «если A,то B». Данную структуру высказываний называют импликацией и обозначают A ? B. В нашем случае импликация имеет вид: A ? B: если треугольник является равносторонним, то он является равнобедренным Это утверждение верно или, как еще говорят, истинно. Действительно, равносторонний треугольник есть частный случай равнобедренного. Можно сформулировать и обратную импликацию: B ? A: если треугольник является равнобедренным, то он является равносторонним. Это утверждение неверно или, как еще говорят, ложно. Очевидно, что произвольный равнобедренный треугольник не всегда будет являться равносторонним. Определение: Пусть импликация A ? B- верна. Тогда условие B называют необходимым условием для A , в то же время, условие A называют достаточным условиям для B. [13] То есть, для нашей верной импликации, в соответствии с определением, «быть равнобедренным треугольником» – это необходимое условие для «быть равносторонним треугольником»; для того, чтобы треугольник являлся равносторонним, необходимо, чтобы он являлся равнобедренным. В то же время «быть равносторонним треугольником» – это достаточное условие для «быть равнобедренным»; для того, чтобы треугольник являлся равнобедренным, достаточно, чтобы он был равносторонним. Используя школьную терминологию, необходимое условие мы называем свойством, а достаточное – признаком. Действительно, «быть равнобедренным треугольником» – это свойство равностороннего треугольника (равносторонний треугольник, помимо всего прочего, является равнобедренным). Наоборот, «быть равносторонним треугольником» – это признак равнобедренного треугольника (если треугольник равносторонний, то он – равнобедренный; здесь акцент делается на том, что нам необходимо опознать равнобедренный треугольник). В математических текстах для выражения необходимого условия используют также обороты речи: только тогда; только если; только в том случае, если [13]. Например: Треугольник является равнобедренным только тогда, когда он является равносторонним. Треугольник является равнобедренным, только если он является равносторонним. Треугольник является равнобедренным только в том случае, если он является равносторонним. Для выражения достаточного условия используют обороты: тогда; если; в том случае, если [12]. Например: Треугольник является равнобедренным тогда, когда он является равносторонним. Треугольник является равнобедренным, если он является равносторонним. Треугольник является равнобедренным в том случае, если он является равносторонним. В случае истинности обеих импликаций A ? B и B ? A, утверждения имеют вид необходимых и достаточных условий одновременно. Приведенный выше пример с равнобедренным и равносторонним треугольниками в этом новом варианте не подходит, поэтому приведем другой пример: свойство острых углов прямоугольного треугольника. В этом случае высказывания будут следующие: A-треугольник является прямоугольным, B-сумма острых углов равна 90°. Формулировка данного свойства в форме импликации с союзом необходимо, получилась следующая: «Для того, чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо, чтобы сумма острых углов равнялась 90°». Пример «с острыми углами прямоугольного треугольника» был выбран по причине того, что обратная импликация (B ? A) также верна: «Для того, чтобы треугольник являлся прямоугольным, достаточно, чтобы сумма острых углов равнялась 90°». Когда истинны обе импликации A ? B и B ? A, высказывания A и B называют равносильными или эквивалентными. В этом случае верно утверждение A ? B, то есть оба высказывания следуют друг из друга. Эквивалентные высказывания описываются выражениями: необходимо и достаточно; тогда и только тогда; если и только если, в том и только в том случае, если [13]. Например: Для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма острых углов равнялась 90°. Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда сумма острых углов равняется 90°. Треугольник является прямоугольным, если и только если сумма острых углов равняется 90°. Треугольник является прямоугольным в том и только в том случае, если сумма острых углов равняется 90°. Математики в этом случае говорят, что условие «сумма острых углов равняется 90°» характеризует прямоугольный треугольник. То есть, любой прямоугольный треугольник удовлетворяет этому условию и никакой непрямоугольный треугольник этому условию не удовлетворяет. Вообще говоря, характеристическое свойство может быть положено в основу эквивалентного определения любого математического объекта (два определения называют эквивалентными или равносильными, если они определяют один и тот же объект). Наличие нескольких определений одного понятия часто бывает полезным при решении задач, так как это позволяет выбрать среди них то, которое ближе всего к контексту рассматриваемой задачи. В таких случаях доказательство того, что используемые определения эквивалентны, обязательно. ? 2.2. Формулировки «потенциальных» характеристических свойств равнобедренного треугольника После осознания теоретических положений мы перешли к самостоятельному конструированию и формулированию потенциальных характеристических свойств равнобедренного треугольника, опираясь на свойства и признаки, которые были собраны из различных учебников, сборников задач и печатных статей (см. Таблицу 1). Таблица 1 № Текст найденного свойства, признака или задачи № Сформулированное характеристическое свойство 1 Из п. 3 [2]. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 1 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы два его угла были равны. 2 № 110 из [2]. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. 2 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из медиан являлась высотой. 3 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из медиан являлась биссектрисой. 3 № 133 из [2]. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник – равнобедренный. 4 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из биссектрис являлась высотой. 5 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из биссектрис являлась медианой. 4 Из п. 3 [2]. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 6 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы одна из высот являлась биссектрисой. 7 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы одна из высот являлась медианой. 5 № 163 из [2]. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. 8 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы середины сторон треугольника являлись вершинами равнобедренного треугольника. 6 № 232 из [2]. Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом. 9 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы один из внешних углов был в два раза больше каждого угла треугольника, не смежного с этим внешним углом. 7 № 233 из [2]. Докажите, что если биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, прилежащего основанию, параллельна основанию. 10 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы биссектриса одного из внешних углов была параллельна одной из сторон треугольника. 8 № 238 из [2]. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. 11 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы отрезок, соединяющий любую точку одной из сторон, отличную от вершины, с противоположной вершиной, был меньше двух других сторон. 9 № 274 из [2]. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон. 12 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы середина одной из сторон треугольника была равноудалена от двух других сторон. 10 № 420 из [2]. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является осью симметрии треугольника. 13 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из прямых, содержащих биссектрису треугольника являлась осью симметрии треугольника. 14 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из прямых, содержащих высоту треугольника являлась осью симметрии треугольника. 15 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из прямых, содержащих медиану треугольника являлась осью симметрии треугольника. 11 № 490 из [2]. Найдите площадь равнобедренного треугольника по длине основания и высоте, проведенной к основанию. 16 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы его площадь равнялась произведению стороны на биссектрису, проведенную к этой стороне. 17 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы его площадь равнялась произведению стороны на медиану, проведенную к этой стороне. 12 № 508 из [2]. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки. 18 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы сумма расстояний от точки на одной из сторон треугольника до двух других сторон не зависела от положения этой точки. 13 № 727 из [2]. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O_1 и около него описана окружность с центром O_2. Докажите, что точки O_1 и O_2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника. 19 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр описанной около треугольника окружности лежал на прямой, содержащую одну из высот треугольника. 20 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр описанной около треугольника окружности лежал на прямой, содержащую одну из биссектрис треугольника. 21 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр описанной около треугольника окружности лежал на прямой, содержащую одну из медиан треугольника. 22 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр вписанной в треугольник окружности лежал на одной из его высот. 23 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр вписанной в треугольник окружности лежал на одной из его медиан. 24 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы описанная окружность касалась середины одной из сторон треугольника. 14 № 1.33 из [3]. Медиана треугольника делит его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник равнобедренный. 25 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы одна из его медиан делила треугольник на два треугольника, периметры которых равны. 26 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы одна из его биссектрис делила треугольник на два треугольника, периметры которых равны. 27 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы одна из его высот делила треугольник на два треугольника, периметры которых равны. 15 Теорема 1 из [6]. Если окружность, проходящая через основания A_1, B_1, C_1 биссектрис треугольника ABC, касается одной из его сторон и пересекает остальные стороны (а не их продолжения!), то такой треугольник – равнобедренный. 28 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы окружность, проходящая через основания биссектрис треугольника, касалась одной из его сторон и пересекала остальные стороны (а не их продолжения!). 16 № 1.14 из [7]. Докажите, что для равнобедренного треугольника справедливо равенство d^2=R^2-2Rr, где d – расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а r и R – радиусы этих окружностей. 29 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы было справедливо равенство d^2=R^2-2Rr, где d – расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а r и R – радиусы этих окружностей. 17 № 1.17 из [7]. Докажите, что треугольник, в который можно вписать два равных, но различных по положению, квадрата является равнобедренным. 30 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы в него можно вписать два равных, но различных по положению, квадрата. 18 № 1.23 из [7]. Докажите, что если две биссектрисы треугольника делятся в точке их пересечения в одном и том же отношении, считая от вершины треугольника, то этот треугольник равнобедренный. 31 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы его две биссектрисы делились в точке их пересечения в одном и том же отношении, считая от вершины треугольника. 19 № 1.189 из [7]. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания. 32 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы окружность, построенная на одной из сторон треугольника как на диаметре, проходила через середину одной из оставшихся двух сторон. 20 № 3.125 из [7]. Докажите, что если стороны a,b и противолежащие им углы ? и ? треугольника связаны соотношением a/cos?? =a/cos?? ,то треугольник равнобедренный. 33 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение a/cos?? =b/cos?? , где a,b – стороны треугольника, ?,? – соответственно противолежащие им углы. 21 Теорема 5 из [8]. В равнобедренном треугольнике центр вписанной в треугольник окружности принадлежит прямой Эйлера . 34 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы центр вписанной в треугольник окружности принадлежит прямой Эйлера. 22 Теорема 6 из [8]. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны. 35 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы в треугольнике хотя бы две биссектрисы были равны. 36 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы в треугольнике хотя бы две медианы были равны. 37 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы в треугольнике хотя бы две высоты были равны. 23 Теорема 2 из [11]. Если в треугольнике существуют равные чевианы, пересекающиеся на биссектрисе, то такой треугольник равнобедренный. 38 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы существовало две равные чевианы пересекающиеся на биссектрисе. 39 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы существовало две равные чевианы пересекающиеся на высоте. 40 Для того чтобы треугольник был равнобедренным необходимо и достаточно, чтобы существовало две равные чевианы пересекающиеся на медиане.
2.3. Про используемые способы доказательств Для того чтобы убедиться в справедливости того или иного высказывания (в частности, характеристического свойства), в науке применяется методика, называемая доказательством. Доказательства самостоятельно сформулированных нами характеристических свойств равнобедренных треугольников стали стержнеобразующими элементами нашего учебного исследования. Доказательство математического утверждения (теоремы) – это всегда сугубо формальная процедура, которая направлена на логическое обоснование истинности этого утверждения, устраняющее любые сомнения. Применение этой формальной процедуры гарантирует, что если в какой-либо ситуации выполняются условия теоремы, то ее заключение будет также верно в этой ситуации. То есть, если теорема доказана ранее, и известно, что в рассматриваемой ситуации ее условия выполнены, то излишне проверять, выполнено ли заключение: его истинность гарантирована правильным доказательством теоремы. Доказать утверждение – это значит показать, что данное утверждение логически следует из ряда истинных и связанных с ним утверждений [4]. Поэтому в процессе математических доказательства обязательно придерживаются основных законов логики [9]: Закон тождества запрещает в процессе доказательства какое-либо понятие (или суждение) подменять другим нетождественным понятием (или суждением), запрещает употреблять термины в различных смыслах, требует четкости, ясности и однозначности понятий. Закон непротиворечия устанавливает то, что высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, следовательно, по крайней мере, одно из них ложно. Закон исключения третьего предписывает то, что из двух противоречивых высказываний об одном и том же объекте одно – истинно, а другое – ложно, третьего не дано. Закон достаточного основания требует, что всякое истинное утверждение должно быть обоснованно с помощью других утверждений, истинность которых доказана. По способам ведения математических доказательств различают прямые и косвенные способы. В данном исследовании мы использовали один из главных прямых способов доказательства, который носит название «синтетический». Смысл этого способа доказательства математической теоремы предполагает наличие некоторой последовательности истинных утверждений (аксиом, определений, теорем), из которых логически вытекает утверждение, которое необходимо доказать. В случае, если рассматриваемое утверждение логически вытекает из уже доказанных утверждений, то оно является обоснованным и истинным. Основой синтетического способа математического доказательства служит дедуктивный метод. А само доказательство выступает как цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений. Хочется отметить, что математическое доказательство – это не просто случайный набор умозаключений, а умозаключения, расположенные в логическом порядке. В нем, основываясь на отдельном истинном предложении и учитывая условия теоремы, соединяется цепочка дедуктивных умозаключений, которая обычно приводит к истинному заключению. Помимо прямого «синтетического» способа доказательства, в нашем исследовании мы также использовали косвенный способ доказательства, который носит название «от противного». Сущность этого способа заключается в следующем: пусть необходимо доказать теорему A ? B. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (B) ложно, и, как следствие, отрицание B считают истинным. После присоединения отрицания B к истинным посылкам, среди которых находится и условие A, составляют цепочку дедуктивных умозаключений до такого утверждения, которое противоречит одной из посылок и, в частности, условию A. После этого доказательство прекращают и делается вывод о том, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы A ? B. Кроме вышеуказанных способов доказательства, мы также использовали способ, который носит название «построение контрпримера». Данный способ – это самый распространенный способ опровержения какого-либо утверждения. Если имеется утверждение типа «Для любого x из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект x_0 из множества M, для которого свойство A не выполняется». Также при доказательстве одной из теорем были доказаны две леммы. Лемма – это теорема, которая полезна не сама по себе, а для доказательства одной или нескольких других теорем. Таким образом, характеристическое свойство состоит из двух утверждений. Первое выражает свойство геометрической фигуры и является его необходимым условием. Второе (обратное) утверждение связано со словами «только тогда», оно выражает признак фигуры. И поэтому доказательство характеристических свойств сводится к доказательству двух импликаций.? 3. Доказательства некоторых сформулированных характеристических свойств
В этой главе приведены доказательства и опровержения некоторых самостоятельно сформулированных характеристических свойств равнобедренных треугольников. Результатом этапа конструирования характеристических свойств равнобедренных треугольников стали ровно сорок формулировок. Для выполнения требований, предъявляемых к объему отчета по исследовательскому проекту на предмет количества страниц, было принято решения о выборочном включении в данный отчет только наиболее актуальных, на наш взгляд, характеристических свойств и их доказательств. Особо хочется остановиться на следующем моменте. Первые семь характеристических свойств, которые можно отнести к учебному материалу 7 класса, были доказаны с рядом введенных руководителем проекта ограничений. Так было категорически запрещено пользоваться всеми признаками равенства треугольников, а также ход каждого из семи доказательств не должен был повториться. Данный подход был аргументирован тем, что при запретах возникает потребность в геометрических фантазиях, которые являются началом фактической исследовательской деятельности. Сама мысль о том, что теорему можно доказать иначе, чем в учебнике – стимул для творческой работы. Кроме того, применение различных способов доказательства помогает более глубокому восприятию всех без исключения теорем. Приведенные доказательства теорем оформлены с использованием логико-математическо о языка. В конце каждого доказательства или опровержения приводятся формулировки некоторых определений, свойств и признаков, используемых для доказательства данной теоремы.
Характеристическое свойство 01 Теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы в нём было два равных угла. Доказательство «Необходимости» Дано: (1) ?ABC:AB=BC
Доказать: ?A=?C ? Мысленно скопируем ?ABC на прозрачную пленку и перевернем копию. Таблица 2 Оригинал Копия Перев рнутая копия
Наложим ?ABC на ?ABC так, чтобы совпали вершины B и B, а также отрезок CB и сторона AB. Так как ?B=?B, то произойдет наложение отрезка BA на луч BC. Поскольку AB=BC , то отрезок BA совместится со стороной BC. В результате ?ABC полностью совместится с ?ABC.
При этом ?A совместится с ?C треугольника ?ABC.
Следовательно ?A=?B. Рис. 1
«Необходимость» доказана Доказательство «Достаточности» Дано: ?ABC (2) ?A=?C Доказать: ?ABC – равнобедренный ? Построим точку D?AC: AD=DC (3) Проведем серединный перпендикуляр p к стороне AC. Докажем, что B?p. Предположим, что это не так. Тогда серединный перпендикуляр p пересекает либо сторону AB, либо BC. Рис. 2
Рассмотрим первый случай. Пусть p?AB=E. (4) Тогда по свойству серединного перпендикуляра: AE=EC (5) + ¦(?AEC@?5? AE=EC)}??AEC-равнобедр нный (6) ?5???A=?ACE (7) + ¦(?2? ?A=?ACB@?5? ?A=?ACE)}??ACB=?ACE – получили противоречие (8)
Аналогично получаем противоречие для второго случая. Таким образом, наше предположение неверно, то есть прямая p проходит через точку B. Следовательно, по свойству серединного перпендикуляра AB=BC. Рис. 3
?ABC:AB=BC??ABC – равнобедренный. (9) «Достаточность» доказана Формулировки некоторых определений, свойств, используемых для доказательства данного характеристического свойства: ?5? Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. ?6,9? Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого хотя бы две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторона – основанием... ? 4. Заключение
Результаты доказательств характеристических свойств равнобедренных треугольников, устанавливают, что гипотеза, выдвинутая в начале нашего учебного исследования, нашла своё подтверждение. Для получения данного положительного результата были отработаны все запланированные перед началом исследования задачи. В ходе данного исследования мы уяснили для себя сущность понятия «характеристическое свойство» и его логическую конструкцию, научились формулировать характеристические свойства равнобедренных треугольников, выявили необходимые способы доказательства характеристических свойств, а также овладели приемами использования их на практике. Кроме того, в ходе работы над исследовательским проектом, мы также узнали, что если учащийся после окончания средней школы собирается поступать в высшее учебное заведение, то понятиями «критерий» и «характеристическое свойство» ему необходимо владеть и, желательно, в совершенстве, так как необходимые и достаточные условия в вузовском курсе высшей математики встречаются почти на каждой занятие. На математических лекциях, и, в первую очередь – математического анализа, студенты постоянно слышат: «Необходимость доказана, теперь докажем достаточность». Если студент-первокурсник не разбирается в этой терминологии, то проблем с успеваемостью ему не избежать. Высокая доля характеристических свойств равнобедренного треугольника имеет, с нашей точки зрения, практическую значимость. Не секрет, что изучение свойств и признаков равнобедренных треугольников в рамках школьного курса геометрии сопровождается частым непониманием со стороны наших сверстников, когда какую формулировку надо использовать. В характеристическом свойстве равнобедренного треугольника одно и тоже качество объекта играет роль необходимого условия (свойства) в случае описания наблюдаемого объекта или достаточного условия (признака) в случае идентификации его в некотором множестве объектов. Поэтому мы считаем, что использование характеристических свойств равнобедренного треугольника в учебном процессе поможет устранить этот психологический дискомфорт у большинства учащихся. Кроме того, опираясь на то, что любое характеристическое свойство объекта можно принять за его определение, то, развивая дальше эту однозначно перспективную идею, нужно в учебном процессе использовать как можно больше эквивалентных определений математических объектов. Развивая идею о характеристических свойствах геометрических фигур, Константин Галушка решил в следующем году уже самостоятельно сформулировать и доказать характеристические свойства прямоугольного треугольника, а Гулаез Камронов займется характеристическими свойствами правильных тетраэдров. В рамках тиражирования результатов творческой, научно-исследовательс ой и проектной деятельности учащихся, в конце марта 2021 года в нашей школе будет выпущена брошюра «Характеристические свойства равнобедренного треугольника» из серии «Хочу быть математиком». Основой брошюры станет данный отчет об исследовательской деятельности. Мы очень надеемся, что эта брошюра поможет учащимся 7-11 классов школ, лицеев и гимназий понять суть характеристических свойств математических объектов и отношений. ? 5. Список литературы
1. Гарольд Кокстер, Самуэль Грейтцер. Новые встречи с геометрией (Серия: «Библиотека математического кружка) – М.: Наука, 1978. – 224 с.: ил. 2. Геометрия, 7-9 классы: учеб. общеобразоват. организаций/ [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др]. – 7 изд. - – М. Просвещение, 2017. – 383 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046398-0. 3. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы. – 3-е изд., испр. – М.: МЦНМО, 2006. – 416 с.: ил. – ISBN 5-94057-157-3 4. Григорьев К.В., Очирова А.Б., Сарангов А.А. Разновидность способов математического доказательства // «Юный ученый» – Международный научный журнал. 2017. № 1 (10) 5. Евдокименко А.П. Характеристические свойства окружности // Потенциал. 2009. № 9. – ISSN 1814-6422 6. Куланин Е. Об одной трудной геометрической задаче // Квант. 1992. № 7 7. Куланин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. И доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 208 с. 8. Кушнир И. Неожиданность обратной задачи // Квант. 1991. № 2 9. Логические основы математики: учеб. пособие к элективному курсу / А. Д. Гетманова. – М.: Дрофа, 2005. – 176 с. – (Элективный курс. Математика) – ISBN: 978-5-710-78988-9 10. Писаревский Б.М. Характеристическое свойство правильного тетраэдра // Математика в школе. 2006. № 9 11. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Щестаков, И.И. Юдина. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 488 с. – ISBN 5-9221-0635-Х 12. Рабе А.Д. Признаки равнобедренности треугольника // circles/oim/mmks/works 017/rabe4.pdf – Сайт Московского центра непрерывного математического образования. 13. Яковлев И.В. Необходимые и достаточные условия // me.php – Сайт дистанционной подготовки к олимпиадам по математике.
* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.
